高一數學家教補習班

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高一數學習題：奇偶性

1下列命題中，真命題是(　　)

A函數y=1x是奇函數，且在定義域內為減函數

B函數y=x3(x-1)0是奇函數，且在定義域內為增函數

C函數y=x2是偶函數，且在(-3,0)上為減函數

D函數y=x2+c(c&;0)是偶函數，且在(0,2)上為增函數

解析：選C選項A中，y=1x在定義域內不具有單調性;B中，函數的定義域不關于原點對稱;D中，當<0時，y=x2+c(c&;0)在(0,2)上為減函數，故選C

2奇函數f(x)在區間[3,7]上是增函數，在區間[3,6]上的最大值為8，最小值為-1，則2f(-6)+f(-3)的值為(　　)

A10　B-10

C-15 D15

解析：選Cf(x)在[3,6]上為增函數，f(x)mx=f(6)=8，f(x)m=f(3)=-1&r4;2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-2x8+1=-15

3f(x)=x3+1x的圖象關于(　　)

A原點對稱 By軸對稱

Cy=x對稱 Dy=-x對稱

解析：選Ax&;0，f(-x)=(-x)3+1-x=-f(x)，f(x)為奇函數，關于原點對稱

4如果定義在區間[3-,5]上的函數f(x)為奇函數，那么=________

解析：∵f(x)是[3-,5]上的奇函數，

&r4;區間[3-,5]關于原點對稱，

&r4;3-=-5，=8

答案：8

1函數f(x)=x的奇偶性為(　　)

A奇函數　　　　　　　　 B偶函數

C既是奇函數又是偶函數 D非奇非偶函數

解析：選D定義域為{x|x≥0}，不關于原點對稱

2下列函數為偶函數的是(　　)

Af(x)=|x|+x Bf(x)=x2+1x

Cf(x)=x2+x Df(x)=|x|x2

解析：選D只有D符合偶函數定義

3設f(x)是R上的任意函數，則下列敘述正確的是(　　)

Af(x)f(-x)是奇函數

Bf(x)|f(-x)|是奇函數

Cf(x)-f(-x)是偶函數

Df(x)+f(-x)是偶函數

解析：選D設F(x)=f(x)f(-x)

則F(-x)=F(x)為偶函數

設G(x)=f(x)|f(-x)|，

則G(-x)=f(-x)|f(x)|

&r4;G(x)與G(-x)關系不定

設M(x)=f(x)-f(-x)，

&r4;M(-x)=f(-x)-f(x)=-M(x)為奇函數

設N(x)=f(x)+f(-x)，則N(-x)=f(-x)+f(x)

N(x)為偶函數

4已知函數f(x)=x2+bx+c(&;0)是偶函數，那么g(x)=x3+bx2+cx(　　)

A是奇函數

B是偶函數

C既是奇函數又是偶函數

D是非奇非偶函數

解析：選Ag(x)=x(x2+bx+c)=xf(x)，g(-x)=-x?f(-x)=-x?f(x)=-g(x)，所以g(x)=x3+bx2+cx是奇函數;因為g(x)-g(-x)=2x3+2cx不恒等于0，所以g(-x)=g(x)不恒成立故g(x)不是偶函數

5奇函數y=f(x)(x&;R)的圖象必過點(　　)

A(，f(-)) B(-，f())

C(-，-f()) D(，f(1))

解析：選C∵f(x)是奇函數，

&r4;f(-)=-f()，

即自變量取-時，函數值為-f()，

故圖象必過點(-，-f())

6f(x)為偶函數，且當x≥0時，f(x)≥2，則當x≤0時(　　)

Af(x)≤2 Bf(x)≥2

Cf(x)≤-2 Df(x)&;R

解析：選B可畫f(x)的大致圖象易知當x≤0時，有f(x)≥2故選B

7若函數f(x)=(x+1)(x-)為偶函數，則=________

解析：f(x)=x2+(1-)x-為偶函數，

&r4;1-=0，=1

答案：1

8下列四個結論：①偶函數的圖象一定與縱軸相交;②奇函數的圖象一定通過原點;③f(x)=0(x&;R)既是奇函數，又是偶函數;④偶函數的圖象關于y軸對稱其中正確的命題是________

解析：偶函數的圖象關于y軸對稱，不一定與y軸相交，①錯，④對;奇函數當x=0無意義時，其圖象不過原點，②錯，③對

答案：③④

9①f(x)=x2(x2+2);②f(x)=x|x|;

③f(x)=3x+x;④f(x)=1-x2x

以上函數中的奇函數是________

解析：(1)∵x&;R，&r4;-x&;R，

又∵f(-x)=(-x)2[(-x)2+2]=x2(x2+2)=f(x)，

&r4;f(x)為偶函數

(2)∵x&;R，&r4;-x&;R，

又∵f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x)，

&r4;f(x)為奇函數

(3)∵定義域為[0，+&f;)，不關于原點對稱，

&r4;f(x)為非奇非偶函數

(4)f(x)的定義域為[-1,0)&cp;(0,1]

即有-1≤x≤1且x&;0，則-1≤-x≤1且-x&;0，

又∵f(-x)=1--x2-x=-1-x2x=-f(x)

&r4;f(x)為奇函數

答案：②④

10判斷下列函數的奇偶性：

(1)f(x)=(x-1) 1+x1-x;(2)f(x)=x2+x　　x<0-x2+x　x>0

解：(1)由1+x1-x≥0，得定義域為[-1,1)，關于原點不對稱，&r4;f(x)為非奇非偶函數

(2)當x<0時，-x>0，則f(-x)=-(-x)2-x=-(-x2+x)=-f(x)，

當x>0時，-x<0，則f(-x)=(-x)2-x=-(-x2+x)=-f(x)，

綜上所述，對任意的x&;(-&f;，0)&cp;(0，+&f;)，都有f(-x)=-f(x)，

&r4;f(x)為奇函數

11判斷函數f(x)=1-x2|x+2|-2的奇偶性

解：由1-x2≥0得-1≤x≤1

由|x+2|-2&;0得x&;0且x&;-4

&r4;定義域為[-1,0)&cp;(0,1]，關于原點對稱

∵x&;[-1,0)&cp;(0,1]時，x+2>0，

&r4;f(x)=1-x2|x+2|-2=1-x2x，

&r4;f(-x)=1--x2-x=-1-x2x=-f(x)，

&r4;f(x)=1-x2|x+2|-2是奇函數

12若函數f(x)的定義域是R，且對任意x，y&;R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立試判斷f(x)的奇偶性

解：在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0，

得f(0+0)=f(0)+f(0)，

&r4;f(0)=0

再令y=-x，則f(x-x)=f(x)+f(-x)，

即f(x)+f(-x)=0，

&r4;f(-x)=-f(x)，故f(x)為奇函數

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