高二文化課培訓

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第一章 隨機事件及其概率

第一節 基本概念

隨機實驗：將一切具有下面三個特點：(1)可重復性(2)多結果性(3)不確定性的試驗或觀察稱為隨機試驗，簡稱為試驗，常用 E 表示。

隨機事件：在一次試驗中，可能出現也可能不出現的事情(結果)稱為隨機事件，簡稱為事件。

不可能事件：在試驗中不可能出現的事情，記為Ф。

必然事件：在試驗中必然出現的事情，記為Ω。

樣本點：隨機試驗的每個基本結果稱為樣本點，記作ω.

樣本空間：所有樣本點組成的集合稱為樣本空間. 樣本空間用Ω表示. 一個隨機事件就是樣本空間的一個子集。基本事件-單點集，復合事件-多點集 一個隨機事件發生，當且僅當該事件所包含的一個樣本點出現。 事件的關系與運算(就是集合的關系和運算)

包含關系：若事件 A 發生必然導致事件B發生，則稱B包含A，記為B?A或A?B。 相等關系：若B?A且A?B，則稱事件A與事件B相等，記為A=B。

事件的和：“事件A與事件B至少有一個發生”是一事件，稱此事件為事件A與事件B的和事件。記為 A∪B。

事件的積：稱事件“事件A與事件B都發生”為A與B的積事件，記為A∩ B或AB。 事件的差：稱事件“事件A發生而事件B不發生”為事件A與事件B的差事件,記為 A-B。 用交并補可以表示為A?B?AB。

互斥事件：如果A，B兩事件不能同時發生，即AB=φ，則稱事件A與事件B是互不相容事件或互斥事件。互斥時A?B可記為A+B。

對立事件：稱事件“A不發生”為事件A的對立事件(逆事件)，記為A。對立事件的性質：A?B??,A?B??。

事件運算律：設A，B，C為事件，則有

(1)交換律：A∪B=B∪A，AB=BA

(2)結合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C A(BC)=(AB)C=ABC

(3)分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) A(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC

(4)對偶律(摩根律)：A?B?A?B A?B?A?B

第二節 事件的概率

概率的公理化體系：

(1)非負性：P(A)≥0;

(2)規范性：P(Ω)=1

(3)可數可加性：A1?A2???An??兩兩不相容時

P(A1?A2???An??)?P(A1)?P(A2)???P(An)??

概率的性質：

(1)P(φ)=0

(2)有限可加性

第三節 古典概率模型

1、設試驗E是古典概型, 其樣本空間Ω由n個樣本點組成,事件A由k個樣本點組成.則定義事件A的概率為P(A)?k n

2、幾何概率：設事件A是Ω的某個區域，它的面積為 μ(A)，則向區域Ω上隨機投擲一點，該點落在區域 A 的概率為P(A)??(A) ?(?)

假如樣本空間Ω可用一線段，或空間中某個區域表示，則事件A的概率仍可用上式確定，只不過把μ理解為長度或體積即可.

第四節 條件概率

條件概率：在事件B發生的條件下，事件A發生的概率稱為條件概率，記作 P(A|B). P(A|B)?P(AB) P(B)

乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)

全概率公式：設A1,A2,?,An是一個完備事件組，則P(B)=∑P(Ai)P(B|Ai)

貝葉斯公式：設A1,A2,?,An是一個完備事件組,則

P(Ai|B)?P(AiB)?P(B)P(Ai)P(B|Ai) P(A)P(B|A)jj

第五節 事件的獨立性

兩個事件的相互獨立：若兩事件A、B滿足P(AB)= P(A) P(B)，則稱A、B獨立，或稱A、B相互獨立.

三個事件的相互獨立：對于三個事件A、B、C，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，P(ABC)= P(A) P(B)P(C)，則稱A、B、C相互獨立

三個事件的兩兩獨立：對于三個事件A、B、C，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，則稱A、B、C兩兩獨立

獨立的性質：若A與B相互獨立，則A與B，A與B，A與B均相互獨立

總結：1.條件概率是概率論中的重要概念，其與獨立性有密切的關系，在不具有獨立性的場合，它將扮演主要的角色。2.乘法公式、全概公式、貝葉斯公式在概率論的計算中經常使用， 應牢固掌握。3.獨立性是概率論中的最重要概念之一，應正確理解并應用于概率的計算。

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