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高一數學知識點講解：函數的對稱性

一、 函數自身的對稱性探究

定理1.函數 y = f (x)的圖像關于點A (a ,b)對稱的充要條件是

f (x) + f (2a-x) = 2b

證明：(必要性)設點P(x ,y)是y = f (x)圖像上任一點，∵點P( x ,y)關于點A (a ,b)的對稱點P'(2a-x，2b-y)也在y = f (x)圖像上，∴ 2b-y = f (2a-x)

即y + f (2a-x)=2b故f (x) + f (2a-x) = 2b，必要性得證。

(充分性)設點P(x0,y0)是y = f (x)圖像上任一點，則y0 = f (x0)

∵ f (x) + f (2a-x) =2b∴f (x0) + f (2a-x0) =2b，即2b-y0 = f (2a-x0) 。

故點P'(2a-x0，2b-y0)也在y = f (x) 圖像上，而點P與點P'關于點A (a ,b)對稱，充分性得征。

推論：函數 y = f (x)的圖像關于原點O對稱的充要條件是f (x) + f (-x) = 0

定理2. 函數 y = f (x)的圖像關于直線x = a對稱的充要條件是

f (a +x) = f (a-x) 即f (x) = f (2a-x) (證明留給讀者)

推論：函數 y = f (x)的圖像關于y軸對稱的充要條件是f (x) = f (-x)

定理3. ①若函數y = f (x) 圖像同時關于點A (a ,c)和點B (b ,c)成中心對稱(a≠b)，則y = f (x)是周期函數，且2 a-b是其一個周期。

②若函數y = f (x) 圖像同時關于直線x = a 和直線x = b成軸對稱 (a≠b)，則y = f (x)是周期函數，且2 a-b是其一個周期。

③若函數y = f (x)圖像既關于點A (a ,c) 成中心對稱又關于直線x =b成軸對稱(a≠b)，則y = f (x)是周期函數，且4 a-b是其一個周期。

①②的證明留給讀者，以下給出③的證明：

∵函數y = f (x)圖像既關于點A (a ,c) 成中心對稱，

∴f (x) + f (2a-x) =2c，用2b-x代x得：

f (2b-x) + f [2a-(2b-x) ] =2c..................(*)

又∵函數y = f (x)圖像直線x =b成軸對稱，

∴ f (2b-x) = f (x)代入(*)得：

f (x) = 2c-f [2(a-b) + x]............(**)，用2(a-b)-x代x得

f [2 (a-b)+ x] = 2c-f [4(a-b) + x]代入(**)得：

f (x) = f [4(a-b) + x],故y = f (x)是周期函數，且4 a-b是其一個周期。

二、 不同函數對稱性的探究

定理4. 函數y = f (x)與y = 2b-f (2a-x)的圖像關于點A (a ,b)成中心對稱。

定理5. ①函數y = f (x)與y = f (2a-x)的圖像關于直線x = a成軸對稱。

②函數y = f (x)與a-x = f (a-y)的圖像關于直線x +y = a成軸對稱。

③函數y = f (x)與x-a = f (y + a)的圖像關于直線x-y = a成軸對稱。

定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現證定理5中的③

設點P(x0 ,y0)是y = f (x)圖像上任一點，則y0 = f (x0)。記點P( x ,y)關于直線x-y = a的軸對稱點為P'(x1， y1)，則x1 = a + y0 , y1 = x0-a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1-a 代入y0 = f (x0)之中得x1-a = f (a + y1) ∴點P'(x1， y1)在函數x-a = f (y + a)的圖像上。

同理可證：函數x-a = f (y + a)的圖像上任一點關于直線x-y = a的軸對稱點也在函數y = f (x)的圖像上。故定理5中的③成立。

推論：函數y = f (x)的圖像與x = f (y)的圖像關于直線x = y 成軸對稱。

三、 三角函數圖像的對稱性列表

注：①上表中k∈Z

②y = tan x的所有對稱中心坐標應該是(kπ/2 ,0 )，而在岑申、王而冶主編的浙江教育出版社出版的21世紀高中數學精編第一冊(下)及陳兆鎮主編的廣西師大出版社出版的高一數學新教案(修訂版)中都認為y = tan x的所有對稱中心坐標是( kπ, 0 )，這明顯是錯的。

四、 函數對稱性應用舉例

例1：定義在R上的非常數函數滿足：f (10+x)為偶函數，且f (5-x) = f (5+x),則f (x)一定是( ) (第十二屆希望杯高二 第二試題)

(A)是偶函數，也是周期函數 (B)是偶函數，但不是周期函數

(C)是奇函數，也是周期函數 (D)是奇函數，但不是周期函數

解：∵f (10+x)為偶函數，∴f (10+x) = f (10-x).

∴f (x)有兩條對稱軸 x = 5與x =10 ，因此f (x)是以10為其一個周期的周期函數， ∴x =0即y軸也是f (x)的對稱軸，因此f (x)還是一個偶函數。

故選(A)

例2：設定義域為R的函數y = f (x)、y = g(x)都有反函數，并且f(x-1)和g-1(x-2)函數的圖像關于直線y = x對稱，若g(5) = 1999，那么f(4)=( )。

(A) 1999; (B)2000; (C)2001; (D)2002。

解：∵y = f(x-1)和y = g-1(x-2)函數的圖像關于直線y = x對稱，

∴y = g-1(x-2) 反函數是y = f(x-1)，而y = g-1(x-2)的反函數是:y = 2 + g(x), ∴f(x-1) = 2 + g(x), ∴有f(5-1) = 2 + g(5)=2001

故f(4) = 2001,應選(C)

例3.設f(x)是定義在R上的偶函數，且f(1+x)= f(1-x),當-1≤x≤0時，

f (x) = - x，則f (8.6 ) = _________ (第八屆希望杯高二 第一試題)

解：∵f(x)是定義在R上的偶函數∴x = 0是y = f(x)對稱軸;

又∵f(1+x)= f(1-x) ∴x = 1也是y = f (x) 對稱軸。故y = f(x)是以2為周期的周期函數，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (-0.6 ) = 0.3

例4.函數 y = sin (2x + )的圖像的一條對稱軸的方程是( )(92全國高考理) (A) x = - (B) x = - (C) x = (D) x =

解：函數 y = sin (2x + )的圖像的所有對稱軸的方程是2x + = k +

∴x = - ,顯然取k = 1時的對稱軸方程是x = - 故選(A)

例5. 設f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x+2)= -f(x),當0≤x≤1時，

f (x) = x，則f (7.5 ) = ( )

(A) 0.5 (B) -0.5 (C) 1.5 (D) -1.5

解：∵y = f (x)是定義在R上的奇函數，∴點(0，0)是其對稱中心;

又∵f (x+2 )= -f (x) = f (-x)，即f (1+ x) = f (1-x)， ∴直線x = 1是y = f (x) 對稱軸，故y = f (x)是周期為2的周期函數。

∴f (7.5 ) = f (8-0.5 ) = f (-0.5 ) = -f (0.5 ) =-0.5 故選(B)

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