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高二數學學習：高二數學雙曲線方程典例分析

雙曲線的幾何性質與代數中的方程、平面幾何的知識聯系密切;直線與雙曲線的交點問題、弦長間問題都離不開一元二次方程的判別式，韋達定理等;漸近線的夾角問題與直線的夾角公式.三角函數中的相關知識，是高考的主要內容.

一、求雙曲線的標準方程

求雙曲線的標準方程 或 (a、b>0)，通常是利用雙曲線的有關概念及性質再 結合其它知識直接求出a、b或利用待定系數法.

例1 求與雙曲線 有公共漸近線，且過點 的雙曲線的共軛雙曲線方程.

解 令與雙曲線 有公共漸近線的雙曲線系方程為 ，將點 代入，得 ，∴雙曲線方程為 ，由共軛雙曲線的定義，可得此雙曲線的共軛雙曲線方程為 .

評 此例是“求與已知雙曲線共漸近線的雙曲線方程”類型的題.一般地，與雙曲線 有公共漸近線的雙曲線的方程可設為 (k?R，且k≠0);有公共焦點的雙曲線方程可設為 ，本題用的是待定系數法.

例2 雙曲線的實半軸與虛半軸長的積為 ，它的兩焦點分別為F1、F2，直線 過F2且與直線F1F2的夾角為 ，且 ， 與線段F1F2的垂直平分線的交點為P，線段PF2與雙曲線的交點為Q，且 ，建立適當的坐標系，求雙曲線的方程.

解 以F1F2的中點為原點，F1、F2所在直線為x軸建立坐標系，則所求雙曲線方程為 (a>0，b>0)，設F2(c，0)，不妨設 的方程為 ，它與y軸交點 ，由定比分點坐標公式，得Q點的坐標為 ，由點Q在雙曲線上可得 ，又 ，

評 此例用的是直接法.

二、雙曲線定義的應用

1、第一定義的應用

例3 設F1、F2為雙曲線 的兩個焦點，點P在雙曲線上，且滿足∠F1PF2=900，求ΔF1PF2的面積.

2、第二定義的應用

例4 已知雙曲線 的離心率 ，左、右焦點分別為F1、F2，左準線為l，能否在雙曲線左支上找到一點P，使 是 P到l的距離d與 的比例中項?

評 以上二例若不用雙曲線的定義得到焦半徑 、或其關系，解題過程將復雜得多.

三、雙曲線性質的應用

例5 設雙曲線 ( )的半焦距為c，

直線l過(a，0)、(0，b)兩點，已知原點到 的距離為 ，

求雙曲線的離心率.

解析 這里求雙曲線的離心率即求 ，是個幾何問題，怎么把題目中的條件與之聯系起來呢?　由面積法知ab= ，考慮到 ，

知 即 ，亦即 ，注意到a<>

四、與雙曲線有關的軌跡問題

例6 以動點P為圓心的圓與⊙A： 及⊙B： 都外切，求點P的軌跡方程.

解 設動點P(x，y)，動圓半徑為r，由題意知 ， ， .

∴ .∴ ， ，據 雙曲線的定義知，點P的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的右支，方程為 ： .

例 7 如圖2，從雙曲線 上任一點Q引直線 的垂線，垂足為N，求線段QN的中點P的軌跡方程.

解析 因點P隨Q的運動而運動，而點Q在已知雙曲線上，

故可從尋求 Q點的坐標與P點的坐標之間的關系入手，用轉移法達到目的.

設動點P的坐標為 ，點Q的坐標為 ，

則 N點的坐標為 .

∵點 N在直線 上，∴ ......①

又∵PQ垂直于直線 ，∴ ，

即 ......②

聯立 ①、②解得 .又∵點N 在雙曲線 上，

即 ，化簡，得點P的軌跡方程為： .

五、與雙曲線有關的綜合題

例8 已知雙曲線 ，其左右焦點分別為F1、F2，直線l過其右焦點F2且與雙曲線 的右支交于A、B兩點，求 的最小值.

②當 時，l的方程為 ，∴ ，∴ .

綜①②所述，知所求最小值為 .

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