高一數學在線公開課

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整理總結高一數學函數知識點二

高一函數中涵蓋的知識點比較零散，但總是會在選擇和筆算題中出現，所以高一函數知識點這塊的內容不容忽視。

一 函數的值域與最值

1、函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采用何種方法求函數值域都應先考慮其定義域，求函數值域常用方法如下：

(1)直接法：亦稱觀察法，對于結構較為簡單的函數，可由函數的解析式應用不等式的性質，直接觀察得出函數的值域

(2)換元法：運用代數式或三角換元將所給的復雜函數轉化成另一種簡單函數再求值域，若函數解析式中含有根式，當根式里一次式時用代數換元，當根式里是二次式時，用三角換元

(3)反函數法：利用函數f(x)與其反函數f-1(x)的定義域和值域間的關系，通過求反函數的定義域而得到原函數的值域，形如(&;0)的函數值域可采用此法求得

(4)配方法：對于二次函數或二次函數有關的函數的值域問題可考慮用配方法

(5)不等式法求值域：利用基本不等式+b≥[，b&;(0，+&f;)]可以求某些函數的值域，不過應注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧

(6)判別式法：把y=f(x)變形為關于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域其題型特征是解析式中含有根式或分式

(7)利用函數的單調性求值域：當能確定函數在其定義域上(或某個定義域的子集上)的單調性，可采用單調性法求出函數的值域

(8)數形結合法求函數的值域：利用函數所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖象，求出函數的值域，即以數形結合求函數的值域

2、求函數的最值與值域的區別和聯系

求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的，事實上，如果在函數的值域中存在一個最小(大)數，這個數就是函數的最小(大)值因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異

如函數的值域是(0，16]，最大值是16，無最小值再如函數的值域是(-&f;，-2]&cp;[2，+&f;)，但此函數無最大值和最小值，只有在改變函數定義域后，如x>0時，函數的最小值為2可見定義域對函數的值域或最值的影響

3、函數的最值在實際問題中的應用

函數的最值的應用主要體現在用函數知識求解實際問題上，從文字表述上常常表現為“工程造價最低”，“利潤最大”或“面積(體積)最大(最小)”等諸多現實問題上，求解時要特別關注實際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值

二 函數的奇偶性

1、函數的奇偶性的定義：對于函數f(x)，如果對于函數定義域內的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函數f(x)就叫做奇函數(或偶函數)

正確理解奇函數和偶函數的定義，要注意兩點：(1)定義域在數軸上關于原點對稱是函數f(x)為奇函數或偶函數的必要不充分條件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式(奇偶性是函數定義域上的整體性質)

2、奇偶函數的定義是判斷函數奇偶性的主要依據。為了便于判斷函數的奇偶性，有時需要將函數化簡或應用定義的等價形式：

注意如下結論的運用：

(1)不論f(x)是奇函數還是偶函數，f(|x|)總是偶函數;

(2)f(x)、g(x)分別是定義域D1、D2上的奇函數，那么在D1&cp;D2上，f(x)+g(x)是奇函數，f(x)g(x)是偶函數，類似地有“奇±奇=奇”“奇x奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶x偶=偶”“奇x偶=奇”;

(3)奇偶函數的復合函數的奇偶性通常是偶函數;

(4)奇函數的導函數是偶函數，偶函數的導函數是奇函數。

3、有關奇偶性的幾個性質及結論

(1)一個函數為奇函數的充要條件是它的圖象關于原點對稱;一個函數為偶函數的充要條件是它的圖象關于y軸對稱

(2)如要函數的定義域關于原點對稱且函數值恒為零，那么它既是奇函數又是偶函數

(3)若奇函數f(x)在x=0處有意義，則f(0)=0成立

(4)若f(x)是具有奇偶性的區間單調函數，則奇(偶)函數在正負對稱區間上的單調性是相同(反)的。

(5)若f(x)的定義域關于原點對稱，則F(x)=f(x)+f(-x)是偶函數，G(x)=f(x)-f(-x)是奇函數

(6)奇偶性的推廣

函數y=f(x)對定義域內的任一x都有f(+x)=f(-x)，則y=f(x)的圖象關于直線x=對稱，即y=f(+x)為偶函數函數y=f(x)對定義域內的任-x都有f(+x)=-f(-x)，則y=f(x)的圖象關于點(，0)成中心對稱圖形，即y=f(+x)為奇函數

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